O ponto no R²

Coordenadas cartesianas

Dados dois eixos OX e OY, perpendiculares em 0(zero). Eles determinam um plano π. Consideremos um ponto P ∈π e tracemos por ele a reta x’ paralela ao eixo OX e y’ paralela ao eixo OY.

Os pontos P₁ e P₂ são, respectivamente, as intersecções de y’ com o eixo OX e de x’ com o eixo OY.

0 e o P₁ determinam o segmento orientado cuja medida algébrica é a abscissa do ponto P.

0 e o P2 determinam o segmento orientado cuja medida algébrica é a ordenada do ponto P.

Os valores de xP e yP constituem um par ordenado ou coordenadas que determinam a posição do ponto P no plano π .
O plano π é denominado plano cartesiano e os eixos OX e OY são os eixos cartesianos, sendo o eixo OX das abscissas e o eixo OY o eixo das ordenadas.
XOY indica o sistema de eixos coordenados ortogonais.
O ponto 0 é a origem do sistema.

Quadrantes

Os eixos coordenados, ao se interceptarem, formam quatro ângulos de 90º, dividindo o plano em quatro regiões denominadas de quadrantes, conforme figura ao lado. Como a intersecção define a origem do plano (0,0), cada quadrante possui uma combinação de sinal distinta. No primeiro quadrante, temos a abscissa e a ordenada positiva, no segundo quadrante, a abscissa negativa e a ordenada positiva, no terceiro quadrante, a abscissa e a ordenada negativa e no quarto quadrante, temos a abscissa positiva e a ordenada negativa. Podemos perceber facilmente que existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano cartesiano e pares ordenados (xP,yP) de números reais, ou seja, para cada par ordenado (xP,yP) existe um único ponto P do plano cartesiano correspondente e vice-versa.

Exemplo

Temos seis pontos no plano cartesiano abaixo.

1) O ponto A se encontra no primeiro quadrante com coordenadas A(6,4).
2) O ponto B se encontra no segundo quadrante com coordenadas B(-4,2).
3) O ponto C se encontra no terceiro quadrante com coordenadas C(-2,-3).
4) O ponto D se encontra no quarto quadrante com coordenadas D(5,-2).
5) Já o ponto E pertence ao eixo OX com coordenadas E(3,0).
6) Já o ponto F pertence ao eixo OY com coordenadas F(0,-4).

Note que sempre que um ponto pertence a um dos eixos a coordenada relativa ao outro eixo é nula, ou seja, se o ponto pertence ao eixo OX a ordenada yP=0.

Distância entre dois pontos

Dados os pontos A(xA,yA) e B(xB,yB), a distância d entre esses dois ponto é dado pela seguinte fórmula:

Exemplos

1) Determine a distância entre os pontos A(1,2) e B(3,5).

Solução:
É só substituir os valores das coordenadas na fórmula e fazer as contas:

2) Calcule o perímetro do triângulo com os vértices em A(2,3), B(-2,1) e C(2,-3).

Solução:

Vamos calcular as medidas dos segmentos

com as distâncias d_AB, d_AC e d_BC, respectivamente.

Perímetro=

Ponto médio

Dado um segmento orientado , se C é um ponto médio desse segmento, então suas coordenadas são determinadas pelas médias das coordenadas dos pontos A e B, ou seja,

Exemplo

1) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento orientado definido pelos pontos A(1,2) e B(3,5).

Resolução:

Substituindo os valores das coordenadas dos pontos A e B nas fórmulas acima, temos:

Portanto, o ponto médio é C(2,3,5).

Coordenadas polares

Coordenadas polares é outra forma de representação de um ponto A. A representação se dará pela distância do ponto A até a origem O e essa distância é designada por r e pelo ângulo w que o segmento faz com o eixo OX.

Considerando uma semirreta OX orientada de um plano. Esta semirreta de origem O (polo), denominado eixo polar, define o sistema polar. Chamamos de coordenadas polares de um ponto A, em relação ao sistema polar dado, aos números (distância de A até O) e (medida do ângulo que o segmento AO faz com o eixo polar, ou o eixo OX). A notação em coordenadas polares é , em que a primeira coordenada ρ é o raio polar e a segunda coordenada ω é o ângulo polar.

O ângulo polar ω tem uma infinidade de valores possíveis , em que e é contado positivamente no sentido anti-horário. O valor do raio polar ρ (raio vetor) é positivo se estiver no mesmo sentido do terminal do ângulo ω e negativo caso contrário.

Um ponto P num plano, em um sistema polar fica bem determinado pela intersecção de uma circunferência de centro em O e raio ρ interseccionado com o semieixo traçado por O e determinado pelo ângulo ω, conforme o exemplo a seguir.

Exemplo

Seja o ponto em coordenadas polares , sua representação se encontra na figura ao lado, em que .

Usando apenas a menor determinação para ω, podemos representar de 4 formas diferentes o mesmo ponto P.

Relação entre coordenadas polares e cartesianas

Dado um ponto P representado ao mesmo tempo no sistema cartesiano e no sistema polar. No sistema cartesiano o ponto P tem as coordenadas representadas por x e y e no sistema polar por ρ e ω, ou seja, P(x,y) e P(ρ,ω), respectivamente.

A partir do triângulo retângulo OPP₁ podemos tirar as relações: