Definição de Vetor
Pela definição de segmentos equipolentes, podemos concluir que existem infinitos segmentos equipolentes a outro previamente definido. A esse conjunto de infinitos segmentos equipolentes, damos o nome de vetor.
Definição de vetor
Vetor é um conjunto de segmentos equipolentes a outro segmento previamente definido. Se definirmos um segmento 
, ao conjunto de todos os segmentos equipolentes à 
, chamaremos de vetor determinado por 
e indicaremos por 
.
Podemos, ainda, indicar um vetor qualquer por letras minúsculas do nosso alfabeto latino, quando não se tratar de nenhum segmento em especial.
Obs.: O nome vetor se dá por ser elemento de um espaço vetorial. A definição de espaço vetorial será vista mais adiante.
Um vetor 
sempre será caracterizado por sua direção, seu sentido e seu módulo que indicaremos por |
|.
Se considerarmos um vetor 
e um ponto 
(origem do vetor) qualquer do espaço, existirá um único segmento orientado 
representante de 
e poderemos escrever 
.
Definição de vetor nulo
Um vetor é nulo quando seu representante for um segmento orientado nulo, ou seja, quando a origem e a extremidade do segmento coincidirem. Indicaremos esse vetor por 
.
Definição de vetor oposto
Um vetor 
é dito oposto de 
quando a origem de 
for a extremidade de 
e a extremidade de 
for a origem de 
. Se 
for definido pelo segmento 
, ou seja, se 
e se 
for o oposto de 
, teremos 
.
Definição de vetores iguais
Dois vetores serão iguais se possuírem mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo. Podemos ter vetores iguais sobre a mesma reta ou sobre retas paralelas.
Definição de vetor unitário
Um vetor 
é unitário se 
.
Definição de versor
Um versor é um vetor que possui mesma direção e mesmo sentido que outro vetor, porém, possui uma unidade de comprimento. Em outras palavras: se 
é versor de 
, então 
possui mesma direção e mesmo sentido que 
e, além disso, 
. Só faz sentido falarmos em versor quando referenciarmos um vetor ao qual queremos tomar seu versor.
Definição de módulo de um vetor
Estabelecida uma unidade de medida, é possível medir o módulo, norma ou comprimento de um vetor que será o mesmo de qualquer um de seus representantes.
Operações com vetores
- a) Soma de vetores
A soma de dois vetores
e 
quaisquer resultam num vetor que indicaremos por 
e que é dado por 
. Geometricamente, representaremos o vetor 
da seguinte forma:
Se o vetor
for o representante do segmento 
(
) e o vetor 
for o representante do segmento 
(
), então o vetor 
será o representante do segmento 
, ou seja, 
.
Ou, como já vimos que podemos representar um vetor por qualquer outro equipolente a ele, podemos tomar um vetor equipolente ao vetor
, com origem coincidindo com a do vetor 
e teremos assim o vetor 
representando a maior diagonal do paralelogramo formado por 
e 
.
Propriedades da soma de vetores
Sejam
, 
três vetores quaisquer.
(comutatividade).
(associatividade).
(elemento neutro).
(elemento simétrico)
Faremos a demonstração da segunda e da quarta propriedade, as demais ficam a cargo do leitor.
ii. Supondo
, 
e 
Por outro lado,
iv. Supondo
, por definição de vetor oposto, temos 
, logo:
E se valendo da propriedade i (comutatividade),
.
- b) Diferença de vetores
A diferença de dois vetores
e 
quaisquer resultam num vetor 
que indicaremos por 
. Geometricamente, representaremos o vetor 
da seguinte forma:
Sabemos que, por definição, um vetor oposto ao vetor
tem mesma direção, mesmo módulo e sentido contrário a 
, sendo designado por 
.Podemos reescrever a igualdade
como uma soma de vetores: 
. Dessa forma, damos o mesmo tratamento da soma para a diferença. Se representarmos o vetor
por outro equipolente a ele, com origem coincidindo com a do vetor 
, obteremos o vetor 
representando a maior diagonal do paralelogramo formado por 
e 
ou, ainda, podemos considerá-lo como a menor diagonal do paralelogramo formado por 
e 
.
Se o vetor
for o representante do segmento 
(
), o vetor 
representante do segmento 
(
), então o vetor 
será o representante do segmento 
(
).
Note que:
(vetor oposto) e 
(comutatividade).
Como a diferença é um caso particular da soma, valem as mesmas propriedades. - c) Multiplicação de um número real por um vetor
Ao multiplicarmos um vetor
qualquer por um número real 
, obteremos como resultante um vetor e o indicaremos por 
. Caso 
ou 
, 
. Se 
e 
, então:- Se
: nesse caso o vetor 
terá mesma direção que 
porém sentido contrário. - Se ainda
, 
terá módulo menor que 
e se 
, 
terá módulo maior que 
.
- Se
: nesse caso o vetor 
terá mesma direção e mesmo sentido que 
.
- Se ainda
, 
terá módulo menor que e se 
, 
terá módulo maior que 
.
- Se ainda
- Se
(comutatividade)
(distributividade em relação à adição de escalares)
(distributividade em relação à adição de vetores)
(identidade)
 |  | |
|
Resumindo: | ||
 |  |
, então 
terá sentido contrário de 
.
, então 
terá mesmo sentido de 
.
Obs.: Ao multiplicarmos um vetor por um número real (um escalar), a direção do vetor não se altera.
Exemplos:
Propriedades da multiplicação de um número real por um vetor
Sejam 
e 
dois vetores quaisquer e 
e 
dois números reais quaisquer:
Faremos apenas a demonstração da quarta propriedade.
Se 
então 
por definição.
Se 
, então 
possui mesmo sentido que 
, pois nesse caso 
e ainda 
o que indica que 
e 
tem o mesmo módulo. Como sabemos que na multiplicação por escalar a direção do vetor não é alterada, podemos concluir que 
.
Vetores colineares
Dois vetores são ditos colineares se possuírem mesma direção, independentemente de seu módulo e sentido. Para que dois vetores sejam colineares, eles devem pertencer à mesma reta suporte ou a retas paralelas.
Como vimos que na multiplicação por escalar a direção se mantém, o vetor 
é colinear ao vetor 
.
Neste caso, 
é colinear a 
e 
é colinear a 
.