Matriz inversa, singular e não-singular
Matriz singular
Uma matriz quadrada A=[aij] cujo determinante é nulo é uma matriz singular.
Exemplo:
A matriz 
é uma matriz singular porque 
Matriz não-singular
Uma matriz quadrada A=[aij] cujo determinante é diferente de zero é uma matriz não-singular ou regular.
Exemplo:
A matriz 
é uma matriz não-singular, porque detA ≠ 0, ou seja, detA=-20.
Propriedades da matriz inversa
- Se a matriz A admite inversa (detA≠0), então a inversa é única.
- Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-1 também é.
- A matriz unitária I é não-singular (detI=1) e I=I-1.
- Se a matriz A é não-singular, sua transposta At também será. A matriz inversa de At é (A-1)t.
- Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AxB é uma matriz não-singular. A matriz inversa de AxB é a matriz B-1xA-1.
Operações elementares
- Permutação de duas linhas (ou duas colunas).
- Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real diferente de zero.
- Substituição dos elementos de uma linha (ou coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna) previamente multiplicadas por um número real diferentes de zero.
Equivalência de matriz
Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, diz-se que a matriz B é equivalente à matriz A, e se representa por A~B, se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares.
Inversão de uma matriz por meio de operações elementares
Exemplo:
Verificar se a matriz 
é singular, caso não for, determinar a matriz inversa da matriz usando operações elementares.
Solução:
Como detA=32≠0, então a matriz A é não-singular. Portanto, ela é inversível.
Para determinar a matriz inversa, vamos usar as operações elementares e a propriedade de matrizes equivalentes para transformar 
.
Operações elementares:
(1) L'2=L2-2×L1 L'3=L3-L1
(2) L'2=L3 L'3=L2
(3) L'1=4×L1-L2
(4) L'1=L1+3×L3
(5) L'1=L1/8 L'2=L2/4 L'3=L3/(-4)
Como foi dito acima, transformamos
Portanto: 