Unidade F – Espaços Vetoriais

Combinação linear de vetores

Definição

Seja V um espaço vetorial tal que  v₁, v₂, ... , vn  V  e  a₁, a₁, ... , an .

Então, o vetor  v = a₁v₁ + a₂v₂  + ... + a_nv_n  é uma combinação linear de v₁, v₂, ... , v_n     e  v V.

Exemplos:

1) Considerando os vetores v₁=(1,0,0) e v₂=(0,1,0). Escrever v=(2,3,0) como combinação linear de v₁e  v₂.

Solução:

v =  a₁v₁ + a₂v₂             (2,3,0) =  a1(1,0,0) + a2(0,1,0)  =  (a₁, a₂, 0)
Daí,    (2,3,0) = (a₁, a₂, 0)        a₁ = 2,   a₂ = 3
Resp:  v =  2v₁ + 3v₂

 

2) Considerando, novamente, os vetores v₁=(1,0,0) e v₂=(0,1,0). Mostrar que w = (1,2,3) não é uma combinação linear de  v₁ e  v₂.

Solução:

w =  a₁v₁ + a₂v₂            (1,2,3)  =  a₁(1,0,0) + a2(0,1,0)  =  (a₁, a₂, 0)
Logo,  (1,2,3) = (a₁, a₂, 0). Absurdo!  Pois 3 ≠ 0.
Portanto, w  não é uma combinação linear de  v₁  e   v₂.

Observação:

Nesses exemplos, observe que v pertence ao plano que contém v₁ e  v₂, mas w não pertence a este plano.