Diagonalização de operadores
Considerando os exemplos de matrizes
Todos com 
e, portanto, com autovalores 
- Os autovalores de matrizes triangulares se encontram na diagonal principal.
- As matrizes triangulares e matrizes diagonais são interessantes, pois seus autovalores são determinados diretamente.
Portanto, seria agradável se pudéssemos relacionar uma matriz a outra triangular ou diagonal de forma que ambas tivessem os mesmos autovalores.
Dado um operador linear 
, que a cada base B de V corresponde a uma matriz 
que representa T na base B. O nosso objetivo é encontrar uma base de modo que a matriz de T nessa base seja a mais simples possível.
Matrizes semelhantes
Definição:
Sejam A e B matrizes n x n. Dizemos que A é semelhante a B se existir uma matriz n x n inversível P tal que P-1AP=B. Se A é semelhante a B, escrevemos A~B.
Se A~B, podemos escrever A=PBP-1 ou AP=PB.
Definição:
O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas de qualquer uma de suas formas escalonadas por linhas.
Teorema:
Sejam A e B matrizes semelhantes. Então:
I. det A = det B.
II. A é inversível, se e somente se B é inversível.
III. A e B têm o mesmo posto.
IV. A e B têm o mesmo polinômio característico.
Exemplo:
As matrizes 
são semelhantes.
Tome 
. Então, 