UNIDADE B - CONTINUIDADE

Continuidade de Funções

Empiricamente, identifica-se uma função contínua, quando ao plotarmos o seu gráfico, em um sistema cartesiano ortogonal, por exemplo, observa-se que todos os seus pontos são unidos por uma curva contínua. Isto é, a função não “salta” de um ponto para outro.

Como exemplo, de função contínua, observe o gráfico da função

Veja que a função é definida para todos os infinitos pontos do seu domínio.

Como contraexemplo, observe o gráfico de

Veja que a função não é definida para .Além disso, quando os valores de x se aproximam de 1, pela esquerda, os valores de y tendem para e quando os valores de x se aproximam de 1, pela direita, os valores de y tendem para .Ou seja, em torno do valor , a função “salta” de para e, portanto, não é contínua em .

Convém salientar que a continuidade de uma função é analisada ponto a ponto, ou em um intervalo específico. Uma função pode não ser contínua em um ponto e ser contínua em outro. É o que acontece com o exemplo anterior: a função Apresenta descontinuidade somente em .

Definição 1:

Uma função f é contínua em um ponto “a” se forem satisfeitas as seguintes condições:

1ª) f é definida em algum intervalo aberto contendo o ponto “a”. Isto significa dizer que “a” pertence ao domínio de f e, portanto existe f(a).

2ª) Existe , ou seja, os limites laterais existem são iguais e finitos.

3ª) , ou seja, o limite da função f quando x tende para “a” dever ser igual ao valor numérico da função no ponto .

Quando uma função não é contínua em “a”, dizemos que estão função é descontínua em “a” ou que apresenta uma descontinuidade em “a”.

Se a primeira condição falhar, isto é , “a” não for um ponto que pertence ao domínio da função, então não há sentido em dizer se a função é contínua ou descontínua nesse ponto.

Teorema da Continuidade

Se uma função f é definida em um intervalo aberto “a”, então f é contínua em “a”, se para cada , existe um , tal que  sempre que .

Ex1. Usando as condições de continuidade, verifique se a função é contínua no ponto .

Solução:

Verificando as condições de continuidade:

1ª)  (o ponto  pertence ao domínio de f)

2ª)

3ª)

Como as três condições foram satisfeitas, conclui-se que a função é contínua em .

Observe o gráfico dessa função:

Essa função é contínua para qualquer ponto do seu domínio.

Ex2. O mesmo para a função no ponto

Solução:

1ª)

2ª) Esta função é definida por mais de uma sentença, então vamos calcular os limites laterais:

3ª)

Como a terceira condição falhou esta função não é contínua em .

Veja, abaixo, o gráfico dessa função:

Repare que o gráfico desta função é uma reta que dá um salto em .

Ex3. O mesmo para a função  em .

Solução:

1ª)

2ª)

Como a segunda condição falhou esta função não é contínua em .

Observe o gráfico dessa função:

Note que em torno do ponto   a função dá um “salto”.