UNIDADE C - DERIVADAS

Definição de Derivada de uma Função

Observe o gráfico de uma função ;

Marcamos um ponto sobre o gráfico de . Adicionando-se incrementos e ao ponto , conseguimos o ponto Veja que pelos pontos e foi traçada uma reta secante à curva do gráfico, indicada por (s) com inclinação . O ponto forma, com os pontos um triângulo retângulo. O lado que é um dos catetos desse triângulo é denominado . Já o outro cateto, o lado é denominado de , pois representam variações em x e em y, respectivamente.

Quando o ponto percorre a curva, tendendo para o ponto,   ,isto é, se aproximando cada vez mais, tanto quanto se queira, sem, no entanto chegar a , provoca as seguintes consequências:

No triângulo ABC, retângulo em C, marcamos o ângulo . Calculando-se a tangente trigonométrica desse ângulo, temos  .Esta relação entre os acréscimos é chamada de Função Razão Incremental.

Levando-se ao limite da Função Razão Incremental, quando o acréscimo dado à variável independente tende a zero, obtém-se a derivada da função .

Em linguagem matemática, vem:

Usam-se os símbolos  para se indicar a derivada de uma função, na variável dependente y, em relação à variável independente x. Ou de forma mais simples: a derivada de y em relação à x.

Como, de forma geral,  e  ,ou seja, as diferenças entre valores finais e iniciais, a definição de derivada também pode ser escrita assim:

E a derivada de uma função em um ponto específico é definida por

Exemplos:

Ex1. Calcule pela definição a derivada da função .

Solução:

Primeiro, damos acréscimos às variáveis x e y:

Isolando , vem que

Substituindo y:

Dividindo ambos os termos por, tem-se que

Levando-se ao limite, quando

Pode-se, também, resolver este exercício usando diretamente a definição:

Solução:

Substituindo no limite, temos:

Ex2. Calcule a derivada da função no ponto de abscissa  .

Solução:

Usando a expressão. , vem que:

Mais adiante, estudaremos qual é o significado geométrico de se calcular uma derivada em um ponto específico.

Ex3. Usando a definição de derivada, derive a função

Solução:

Substituindo no limite, vem que:

Ex4. O mesmo para a função

Solução:

Substituindo no limite, vem que: