Definição de Derivada de uma Função
Observe o gráfico de uma função ;
Marcamos um ponto sobre o gráfico de
. Adicionando-se incrementos
e
ao ponto
, conseguimos o ponto
Veja que pelos pontos
e
foi traçada uma reta secante à curva do gráfico, indicada por (s) com inclinação
. O ponto
forma, com os pontos
um triângulo retângulo. O lado
que é um dos catetos desse triângulo é denominado
. Já o outro cateto, o lado
é denominado de
, pois representam variações em x e em y, respectivamente.
Quando o ponto percorre a curva, tendendo para o ponto,
,isto é, se aproximando cada vez mais, tanto quanto se queira, sem, no entanto chegar a
, provoca as seguintes consequências:
No triângulo ABC, retângulo em C, marcamos o ângulo . Calculando-se a tangente trigonométrica desse ângulo, temos
.Esta relação entre os acréscimos é chamada de Função Razão Incremental.
Levando-se ao limite da Função Razão Incremental, quando o acréscimo dado à variável independente tende a zero, obtém-se a derivada da função .
Em linguagem matemática, vem:
Usam-se os símbolos para se indicar a derivada de uma função, na variável dependente y, em relação à variável independente x. Ou de forma mais simples: a derivada de y em relação à x.
Como, de forma geral, e
,ou seja, as diferenças entre valores finais e iniciais, a definição de derivada também pode ser escrita assim:
E a derivada de uma função em um ponto específico
é definida por
Exemplos:
Ex1. Calcule pela definição a derivada da função .
Solução:
Primeiro, damos acréscimos às variáveis x e y:
Isolando , vem que
Substituindo y:
Dividindo ambos os termos por, tem-se que
Levando-se ao limite, quando
Pode-se, também, resolver este exercício usando diretamente a definição:
Solução:
Substituindo no limite, temos:
Ex2. Calcule a derivada da função no ponto de abscissa
.
Solução:
Usando a expressão. , vem que:
Mais adiante, estudaremos qual é o significado geométrico de se calcular uma derivada em um ponto específico.
Ex3. Usando a definição de derivada, derive a função
Solução:
Substituindo no limite, vem que:
Ex4. O mesmo para a função
Solução:
Substituindo no limite, vem que: