Aplicações de Derivadas

Reta Tangente

Do gráfico 1, deduziu-se que , além disso, que é a definição de derivada de uma função. Sabe-se da geometria analítica, que o coeficiente angular “m” de uma reta é a tangente trigonométrica da inclinação desta reta. Entende-se como inclinação o menor ângulo positivo que a reta faz com o eixo . Portanto, conclui-se que isto é, o coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto específico é a derivada desta função na abscissa deste ponto. Esta é a interpretação geométrica de derivada.

Ex5. Determine as equações das retas tangente e normal à curva no ponto .

Resolução:

Primeiro, vamos determinar a primeira derivada da função dada:

Para encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente a essa curva, substituímos a abscissa do ponto A na função derivada:

A seguir, escrevemos a equação da reta tangente, usando a fórmula da geometria analítica para a equação de uma reta que passa por um ponto conhecido e tem coeficiente angular m.

Uma reta normal a uma curva, em um ponto, é uma reta perpendicular à reta tangente, nesse mesmo ponto. Como retas perpendiculares têm coeficientes angulares inversos e simétricos, fica fácil a determinação da equação da reta normal:

O gráfico abaixo, ilustra esta situação:

Taxa de Variação

Velocidade e Aceleração

Sabe-se da Física, que a velocidade escalar média é a razão entre o a variação do espaço percorrido pela variação do tempo:

Veja que é uma função razão incremental. Levando-se ao limite quando o acréscimo dado a variável independente tende a zero, temos a função derivada do espaço percorrido em relação ao tempo. Esta derivada é denominada de velocidade instantânea, em um instante de tempo determinado:

Da mesma forma, define-se aceleração escalar média como a razão entre a variação da velocidade pela variação do tempo:

Esta aceleração também é uma razão incremental. Calculando-se o limite desta razão,quando o acréscimo dado a variável independente tende a zero, obtém-se a função derivada da velocidade em relação ao tempo decorrido. Tem-se, então, a velocidade instantânea em um determinado tempo específico.

Em termos práticos, dada uma função do espaço percorrido em função do tempo, a primeira derivada dessa função, em relação ao tempo é a equação da velocidade e, a segunda derivada, em relação ao tempo, é a equação da aceleração.

Ex6. A posição de um corpo, em um instante t é dada por Considerando t expresso em segundos e S em metros, determine:

A equação da velocidade;
A equação da aceleração;
A velocidade quando
A aceleração no instante

Solução:

Máximos e Míninos e Estudo do Crescimento de uma Função

Para iniciarmos este estudo, vamos primeiro relacionar o sinal derivada de uma função com os intervalos onde a mesma é crescente, decrescente ou constante.

Observe os gráficos abaixo:

Resumindo, temos:

Uma função é crescente em um determinado intervalo, se e somente se sua derivada, neste intervalo, é positiva.
Uma função é decrescente em um determinado intervalo, se e somente se, sua derivada, neste intervalo, é negativa.
Uma função é constante em um determinado intervalo, se e somente se, sua derivada é igual a zero.

Observe o gráfico abaixo da função

Veja que nos pontos P, Q, R e S a derivada se anula, pois as tangentes a esses pontos são paralelas ao eixo dos xx. Em linguagem matemática podemos escrever .

Em torno do ponto P a função passa de crescente para decrescente, ou seja, a sua derivada muda o seu sinal de positiva para negativa. Neste caso, este ponto P, em que é denominado de Ponto de Máximo Local.

Já no entorno do ponto Q, a função muda de decrescente para crescente, então o sinal de sua derivada passa de negativo para positivo. Assim, este ponto Q, onde é chamado de Ponto de Mínimo Local.

Da mesma forma, o ponto R é outro ponto de máximo local dessa função, enquanto que o ponto S é outro ponto de mínimo local.

Uma função pode apresentar vários pontos de máximo e de mínimo. Ter um ponto de máximo, não significa necessariamente que este seja o maior valor dessa função, ao passo que ter um ponto de mínimo, também não significa necessariamente o menor valor que a função assume. Há também funções que não apresentam nem pontos de máximo nem de mínimo.

Para se determinar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos de máximo e de mínimo de uma função, é preciso verificar os pontos onde a derivada dessa função se anula ou pontos para os quais esta derivada não está definida. Feito isto, analisa-se o sinal da derivada em torno desses pontos.

Ex7. Da função determine se houver:

intervalos de crescimento e decrescimento;
pontos de máximo e de mínino;

Solução:

Estas raízes, por anularem a primeira derivada, são candidatas a serem as abscissas de pontos de máximo ou de mínimo. Para isso, vamos analisar o sinal da função derivada, , em torno dessas raízes:

Uma das formas de se fazer essa análise, é a de calcular valores numéricos da função derivada, para pelo menos um valore menor que a menor raiz, para um valor entre as raízes e um valor maior que a maior raiz.

Neste caso, tem-se:

(significa que a função derivada assume valores positivos à esquerda de -2).

(significa que a função derivada assume valores negativos entre -2 e +2).

(significa que a função derivada assume valores positivos à direita de +2).

Lembrando que uma função é crescente no intervalo em que sua derivada é positiva e decrescente no intervalo em que sua derivada é negativa, conclui-se então:

Função Crescente: C:

Função Decrescente: D:

Com esta análise, conclui-se que em há um ponto de máximo, pois a derivada se anula e muda o seu sinal de positivo para negativo. Em há um ponto de mínimo, porque a derivada se anula e troca o seu sinal de negativo para positivo.

Para determinarmos as ordenadas desses pontos, fazemos o cálculo dos valores numéricos da função, nas abscissas indicadas:

Para verificação desses resultados, observe o gráfico da função

abaixo:

Ex8. Para a função determine, se houver:

intervalos de crescimento e decrescimento;
pontos de máximo e de mínimo;

Solução:

Esta função, bem como a sua derivada, não estão definidas no ponto . Este ponto, portanto, será considerado na análise do sinal da derivada:

Neste caso, mesmo a derivada tendo mudado o seu sinal de positiva para negativa, em torno do ponto , não é um ponto de máximo, pois não é possível calcular .

Esta função é:

Crescente: C:

Decrescente: D:

Determinação do ponto de mínimo:

Confirmamos estas informações observando o gráfico de :

Pontos de Inflexão e Estudo do Sentido da Concavidade de uma Função

Observe no gráfico da função os pontos T, V e U. Verifica-se que estes pontos separam arcos de concavidades contrárias. O ponto T separa um arco de concavidade para baixo de um arco com concavidade para cima. Já o ponto V separa um arco de concavidade para cima de outro de concavidade para baixo. E o ponto U faz a separação de um arco côncavo para baixo de um côncavo para cima. Estes pontos são denominados de Pontos de Inflexão (PI).

Definição de Concavidade

Se uma função f for diferenciável em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é:

côncavo para cima em I, se f’ é crescente em I;
côncavo para baixo em I, se f’ é decrescente em I.

Teste de Concavidade

Se a derivada segunda f’’ existe em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é:

côncavo para cima em I, se f’’(x)>0 em I;
côncavo para baixo em I, se f’’(x)<0, em I.

Resumindo, uma função apresentará um ponto de inflexão, se este ponto anular a segunda derivada e se em torno desse ponto, a segunda derivada mudar o seu sinal de positivo para negativo ou vice-versa. Se num determinado intervalo, o sinal da segunda derivada for positivo, o gráfico dessa função é côncavo para cima, nesse intervalo, se, ao contrário, o sinal da segunda derivada for negativo, então o gráfico apresenta uma concavidade para baixo, nesse intervalo.