Unidade C - CONJUNTOS

C.11 CONJUNTOS CONTÁVEIS E NÃO-CONTÁVEIS

Em um conjunto finito A, sempre podemos designar um elemento como sendo o primeiro, a₁, um outro como sendo o segundo, a₂, e assim por diante. Se existem n elementos no conjunto, então eles podem ser listados na ordem a₁, a₂, ..., a_n. Essa lista representa todo o conjunto.

O número de elementos em um conjunto finito é a cardinalidade do conjunto.

No caso de conjuntos infinitos, podemos ainda, em alguns casos, selecionar um primeiro elemento a₁, um segundo, a₂, e assim por diante, de modo que a lista a₁, a₂, a₃, ..., representa todos os elementos do conjunto. Tal conjunto infinito é dito enumerável.

Os conjuntos finitos e os conjuntos enumeráveis são conjuntos contáveis, pois podemos contar, ou enumerar, todos os seus elementos.

Ser um conjunto contável não significa que somos capazes de dizer qual o número total de elementos no conjunto (sua cardinalidade); significa que podemos identificar quem é o primeiro elemento, o segundo, e assim por diante. Um exemplo de conjunto enumerável é o conjunto dos números naturais N. Para provar que o conjunto N é enumerável, basta que mostremos uma forma de listar os seus componentes, ou seja, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Por outro lado, o conjunto dos números reais R é não-enumerável. Podemos observar que entre quaisquer dois números reais sempre existirá outro. Isso impossibilita a listagem dos seus elementos, tornando-o um conjunto não-enumerável.