C.4 DESCRIÇÃO DE CONJUNTOS
Para que possamos descrever um determinado conjunto, temos que identificar de forma inequívoca os seus elementos. Baseados, nessa premissa, podemos utilizar basicamente duas diferentes maneiras para a descrição de conjuntos na teoria matemática. Iremos estudá-las a seguir.
Por lista
Isso é conseguido simplesmente listando, entre chaves, todos os elementos que compõem o conjunto.
Um exemplo de descrição de um conjunto por lista é o conjunto que contém alguns animais domésticos, isto é,
Observe que nessa descrição, os elementos do conjunto não apresentam nenhuma ordem, de modo que {cachorro, gato, passarinho} é o mesmo que {passarinho, cachorro, gato}. Além disso, cada elemento do conjunto é listado uma única vez.
Essa maneira de descrever um conjunto é adequada para conjuntos finitos (possuem um número limitado de elementos) e que possuam poucos elementos. Por outro lado, embora seja impossível listar todos os elementos de um conjunto infinito, para alguns tipos de conjuntos infinitos, poderíamos informar a forma geral indicando os seus primeiros elementos. Por exemplo, para o conjunto A dos números inteiros ímpares, a sua lista é A = {1, 3, 5, 7, ...}. Embora, isso possa ser utilizado, existe o perigo de que nós não percebamos a forma geral que a pessoa que descreveu o conjunto queria identificar.
Pela propriedade característica
Essa forma consiste em enunciar objetivamente a propriedade que caracteriza os elementos do conjunto. Por exemplo, para o conjunto dos números inteiros ímpares, temos
a qual é lida como “A é o conjunto dos elementos x tal que x é um número inteiro ímpar e maior que zero”. Geralmente, nessa descrição, a letra x é utilizada para designar um elemento qualquer do conjunto, o símbolo | é interpretado como “tal que” e a vírgula significa “e”.
Exemplo C.1: Descreva por lista os conjuntos a seguir.
a) B = {x | x é um número inteiro, 5 ≤ x ∠ 9
B = {5, 6, 7, 8}
b) C = {x | x é uma estação do ano}
C = {primavera, verão, outono, inverno}
c) D = {x | x é um mês do ano com 28 ou 29 dias}
D = {fevereiro}
Exemplo C.2: Descreva pela propriedade característica os conjuntos a seguir.
a) E = {1, 8, 27, 64, 125}
Observando os elementos listados do conjunto E, notamos que se trata dos cubos dos números de 1 a 5. Portanto, E = {x | x é um dos cinco primeiros cubos perfeitos}.
b) F = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Primeiro, observe que o conjunto F é um conjunto com infinitos elementos. Segundo, os números listados correspondem aos números primos. Então, F = {x | x é um número primo}.
c) G = {verde, amarelo, azul, branco}
Note que as cores listadas correspondem às cores da bandeira do Brasil. Assim, G = {x | x é cor da bandeira do Brasil}.