F.4 Os Princípios da Multiplicação e da Adição Juntos
Em problemas de contagem, frequentemente utilizamos os princípios da multiplicação e da adição juntos. Os exemplos a seguir ilustram esse fato.
Exemplo F.4: Considere o problema do estudante apresentado no início dessa unidade. Suponha que desejamos determinar de quantas formas diferentes o estudante pode escolher o material escolar, ao invés do número de conjuntos de material escolar que ele pode ter. Assim, escolher um lápis HB e, depois, uma caneta azul não é a mesma coisa que escolher primeiro uma caneta azul e, depois, um lápis HB. Podemos considerar dois casos disjuntos (a escolha do lápis ou da caneta primeiro). Cada um desses casos, pelo princípio da multiplicação, possui 6 possibilidades, de modo que, pelo princípio da adição, existem 6 + 6 = 12 formas diferentes de escolher o material escolar.
Exemplo F.5: Quantos números de quatro dígitos iniciam com 2 ou 8?
Novamente, podemos considerar dois conjuntos disjuntos – os números que iniciam com 2 e os que iniciam com 8. Para os números que iniciam com o dígito 2, há uma possibilidade para o primeiro dígito (tem que ser 2) e 10 possibilidades para as demais três posições do número. Assim, pelo princípio da multiplicação, existem 1 x 10 x 10 x 10 = 1.000 formas de se obter um número de quatro dígitos iniciando pelo dígito 2. Raciocínio idêntico pode ser aplicado para os números que iniciam com o dígito 8. Portanto, pelo princípio da adição, existem 1.000 + 1.000 = 2.000 possibilidades ao todo.
Exemplo F.6: Se um rapaz possui 6 camisas, 5 calças e 3 pijamas, de quantas maneiras diferentes ele pode se vestir?
Inicialmente, temos que considerar o fato de que, se o rapaz vestir camisa e calça, ele não usará pijama, e vice-versa. Portanto, podemos dividir a contagem em dois problemas disjuntos: um da escolha da camisa e da calça e outro da escolha do pijama. Para o primeiro, pelo princípio da multiplicação, há 6 x 5 = 30 possibilidades. Para o segundo, existem 3 possibilidades. Então, pelo princípio da adição, existem 30 + 3 = 33 formas diferentes do rapaz se vestir.
Exemplo F.7: Quantos números inteiros com 3 dígitos são ímpares?
A solução está baseada no fato de que os números ímpares obrigatoriamente terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9. Podemos, então, considerar 5 casos disjuntos, um para cada terminação. Para os números terminados com o dígito 1, temos 10 possibilidades para o primeiro dígito e mais 10 possibilidades para o segundo dígito. Assim, pelo princípio da multiplicação, existem 10 x 10 x 1 = 100 possibilidades de números com três dígitos terminados em 1. Analogamente, existem 100 possibilidades de números com três dígitos terminados em 3, terminados em 5, terminados em 7 e terminados em 9. Portanto, pelo princípio da adição, existem 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 500 números inteiros de três dígitos que são ímpares.