F.8 Combinações

Às vezes, queremos selecionar r objetos de um conjunto de n objetos, porém não nos importamos com a ordem. Nesse caso, estamos contando o número de combinações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos, que usaremos a notação C(n, r). Para cada uma das combinações, existem r! maneiras de ordenar os r objetos escolhidos. Pelo princípio da multiplicação, o número de permutações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos é o produto do número de escolhas possíveis dos objetos, C(n, r), pelo número de maneiras de ordenar os objetos escolhidos, r!, portanto

Exemplo F.16: Em uma caixa, temos 14 bolas numeradas de 1 a 14. De quantas maneiras podemos retirar grupos com três bolas?

Observe que a ordem numérica das bolas não é importante. Assim, temos um problema típico de combinações, isto é, C(14, 3).

Exemplo F.17: Considere o Exemplo F.14. Suponha, agora, que queiramos saber apenas de quantas maneiras três atletas podem ser premiados nos três primeiros lugares.

Observe que, agora, a ordem em que os atletas serão premiados não é mais importante. Portanto, a solução é

Exemplo F.18: De quantas maneiras é possível escolher uma comissão de 4 pessoas em um grupo de 10 pessoas?

lembre-se que a diferença entre permutações e combinações consiste em se os objetos são simplesmente selecionados ou se são selecionados e ordenados. Se a ordem é relevante, o problema envolve permutações; se a ordem não é relevante, o problema envolve combinações.

Ao se resolver problemas de contagem, frequentemente utilizamos mais de uma técnica simultaneamente. Por exemplo, podemos utilizar combinações junto com os princípios da multiplicação ou da adição.

Exemplo F.19: Em uma escola, desejamos formar uma comissão de dez estudantes escolhida entre duas turmas com 20 estudantes (Turma A) e 30 estudantes (Turma B). Pergunta-se:

a) De quantas maneiras é possível selecionar 4 estudantes da Turma A e 6 da Turma B?
b) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão com exatamente 1 estudante da Turma A?
c) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão com, no máximo, 1 estudante da Turma A?
d) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão com, pelo menos, 1 estudante da Turma A?

Primeiramente, observe que a ordem dos estudantes não é importante. Assim, temos problemas de combinações. Agora, vamos analisar caso a caso.

a) Aqui, temos uma sequência de duas tarefas, selecionar estudantes da Turma A e selecionar estudantes da Turma B. Assim, vamos usar o princípio da multiplicação para resolver esse problema. Para a Turma A, temos C(20, 4) e para a Turma B, C(30, 6). Portanto, a solução é

b) Novamente uma sequência de tarefas. Primeiro, selecionar um único estudante da Turma A e, depois, selecionar o restante da comissão entre os estudante da Turma B. Assim, existem C(20, 1) maneiras de se selecionar um único estudante da Turma A e C(30, 7) de se selecionar o restante da comissão entre os estudante da turma B. Portanto, a solução é

c) Agora, note que para termos, no máximo, 1 estudante da Turma A na comissão significa que podemos ter ou 1 ou 0 estudante da turma na comissão. Esses eventos são disjuntos, o que nos obriga a usar o princípio da adição. O número de maneiras de se selecionar exatamente 1 estudante da Turma A para a comissão é a resposta do item b. O número de maneiras de se selecionar 0 estudante da Turma A para a comissão é o mesmo que selecionar a comissão toda entre os estudantes da Turma B, ou seja, C(30, 8). Portanto, a solução é

d) Há várias formas de resolver esse item. A mais simples é resolver contando todas as maneiras possíveis de se formar a comissão com 8 estudantes selecionados entre os 50 estudantes disponíveis (as turmas A e B juntas) e, depois, eliminar (subtrair) o número de comissões formadas exclusivamente por estudantes da Turma B. Logo, a resposta é

Unidade F - COMBINATÓRIA